公式笔记本

LaTeX 公式示例库

从可用的公式开始。浏览矩阵、分式、积分、概率和多行公式示例，编辑后即可导出 PNG、SVG 或 JPG 图片。

浏览 30 个示例，按名称或命令搜索，再复制源码或在转换器中打开。每个示例都附有修改提示与可分享的直达链接，新公式默认使用透明 PNG 和 2× 缩放。

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支持中英文名称和 LaTeX 命令，可结合分类筛选。

共 30 个示例

每张预览都附有可编辑的 LaTeX 源码。

代数与分式

一元二次方程求根公式

使用花括号分别包裹分子、分母和根号内的完整表达式。

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

修改提示与常见错误

可以修改: 一致地替换 a、b、c，且 a 不能为零。
注意事项: 整个判别式都应放在根号命令的花括号内。

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代数与分式

二项式展开

将求和符号与二项式系数组合，按需要修改幂次 n。

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k

修改提示与常见错误

可以修改: 选择非负整数 n，并一致地修改 a、b。
注意事项: n−k 需要完整放在花括号内，才能一起成为指数。

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代数与分式

简单分式

适合表示比例或代数式的入门分式。

\frac{a+b}{c+d}

修改提示与常见错误

可以修改: 修改第一组和第二组花括号中的表达式，分别替换分子与分母。
注意事项: 分式命令后需要两组参数，即使分子或分母只有一个字符，也建议保留花括号。

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代数与分式

嵌套分式

在一个分式中再放入分式，适合练习连分式写法。

\frac{1}{1+\frac{1}{x}}

修改提示与常见错误

可以修改: 替换 x，或在分母组内继续添加一层分式。
注意事项: 先关闭内层分式，再关闭外层分母；每个分式都需要分子和分母两个参数。

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代数与分式

根式与上下标

在递推表达式中组合平方根、幂次和多字符下标。

x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + a_n^2}

修改提示与常见错误

可以修改: 修改根号内的项，或把 n+1 替换为需要的下标。
注意事项: 多字符下标和上标需要用花括号包裹，否则只有第一个字符会成为上下标。

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微积分

高斯积分

为积分添加上下限，并在微分符号前留出适当间距。

\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

修改提示与常见错误

可以修改: 可以参考积分与分式的结构，改写自己的积分表达式。
注意事项: 修改积分范围或被积函数后，原来的等式可能不再成立。

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微积分

三角函数极限

组合极限算子与分式，让趋近值和比值保持清晰。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

修改提示与常见错误

可以修改: 同时修改趋近值与函数，构造自己的极限表达式。
注意事项: 结果 1 对应当前表达式，且三角函数的角度采用弧度。

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微积分

幂函数求导

用分式和幂次表示普通导数的幂法则。

\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}

修改提示与常见错误

可以修改: 同时修改等式两侧的 n；这里将 n 视为常数。
注意事项: 使用分式排列导数算子，不要只把 dy 和 dx 连写在一起。

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微积分

偏导数

表示二元函数关于 x 的偏导数。

f(x,y)=x^2y \qquad \frac{\partial f}{\partial x}=2xy

修改提示与常见错误

可以修改: 同时修改函数及其导数；本例对 x 求导时将 y 视为常数。
注意事项: 偏导算子的分子和分母都应使用偏导符号。

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微积分

二重积分

将单位正方形区域上的二重积分写成累次积分。

\iint_{[0,1]^2} xy\,dA = \int_0^1 \int_0^1 xy\,dx\,dy

修改提示与常见错误

可以修改: 同时修改积分上下限、区域和被积函数；最右侧的微分对应先积分的变量。
注意事项: 更换区域时，应保持积分上下限与 dx、dy 的顺序一致。

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矩阵

2 × 2 矩阵

bmatrix 环境使用方括号；列之间用 & 分隔，行之间用两个反斜杠换行。

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

修改提示与常见错误

可以修改: 替换四个矩阵元素；需要更大的网格时可以打开矩阵生成器。
注意事项: 开头和结尾的矩阵环境名称必须一致。

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矩阵

二阶行列式

vmatrix 环境在元素两侧显示竖线，适合表示行列式。

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc

修改提示与常见错误

可以修改: 在等式两侧一致地替换 a、b、c、d。
注意事项: 结果应为 ad−bc，不是 ad+bc；这里的竖线表示行列式。

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矩阵

3 × 3 矩阵

用圆括号排列九个矩阵元素。

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

修改提示与常见错误

可以修改: 替换九个元素；若需要方括号，将开头和结尾的 pmatrix 同时改为 bmatrix。
注意事项: 每行应有三个元素，用两个 & 分隔；各行之间用两个反斜杠换行。

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矩阵

列向量

将三个分量竖直排列在同一列。

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}

修改提示与常见错误

可以修改: 修改 x、y、z，或用两个反斜杠增加一行。
注意事项: 分量之间需要换行，而不是使用 &；& 会开始第二列。

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矩阵

通用 m × n 矩阵

用水平、垂直和对角省略号表示未展开的矩阵元素。

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

修改提示与常见错误

可以修改: 按矩阵维度修改 m、n 和角落元素的下标。
注意事项: 保持可见的三列对齐，并为不同方向选择对应的省略号命令。

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多行与分段

多行对齐推导

用 & 将两行公式的等号对齐，每对反斜杠开始新的一行。

\begin{aligned}
(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\
&= a^2 + 2ab + b^2
\end{aligned}

修改提示与常见错误

可以修改: 修改推导步骤，并将各行的对齐标记放在等号之前。
注意事项: 换行需要两个反斜杠，仅按回车不会让公式换行。

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多行与分段

分段函数

cases 环境用一个左花括号组合各行，分别填写函数值与条件。

|x| = \begin{cases}
x & x \ge 0 \\
-x & x < 0
\end{cases}

修改提示与常见错误

可以修改: 修改各行 & 左侧的函数值和右侧的对应条件。
注意事项: 更改条件后，应检查它们是否仍覆盖预期的定义域。

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多行与分段

线性方程组

在一个左花括号下组合两条线性方程。

\begin{cases}
2x+y=5 \\
x-y=1
\end{cases}

修改提示与常见错误

可以修改: 修改系数和常数，或添加一行新方程。
注意事项: cases 的开头和结尾须配对，两条方程之间需要两个反斜杠。

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多行与分段

三段函数

按负数、零和正数三种情况定义符号函数。

\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases}
-1 & x<0 \\
0 & x=0 \\
1 & x>0
\end{cases}

修改提示与常见错误

可以修改: 修改 & 左侧的函数值，以及右侧的对应条件。
注意事项: 定义其他函数时，检查各段条件是否完整，并避免互相重叠。

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多行与分段

长公式分行

将较宽的多项式展开拆成两行，并保持对齐。

\begin{aligned}
(a+b+c)^2 &= a^2+b^2+c^2 \\
&\quad +2ab+2ac+2bc
\end{aligned}

修改提示与常见错误

可以修改: 在两项之间选择换行位置，在续行的 & 后继续书写。
注意事项: 仅在编辑器里按回车不会让公式换行，还需要两个反斜杠。

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概率

贝叶斯定理

在概率中使用条件竖线。这个等式要求 P(B) 大于零。

P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}

修改提示与常见错误

可以修改: 在各处概率表达式中一致地替换事件名称。
注意事项: 分母不能为零；条件竖线不是除号。

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概率

正态分布概率密度

用嵌套分式、希腊字母和指数表示密度函数，其中标准差须大于零。

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

修改提示与常见错误

可以修改: 设置均值与正的标准差，并在整条公式中保持符号一致。
注意事项: 指数中的完整负分式都应放在上标的花括号内。

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概率

样本均值

用上横线和求和符号表示 n 个观测值的平均数。

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

修改提示与常见错误

可以修改: 一致地修改样本符号和求和下标；n 应为正的观测数量。
注意事项: 求和上下限需要分组，并保留前面的 1/n 因子。

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概率

随机变量的方差

用黑板粗体的期望符号与成对的伸缩括号表示方差。

\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\!\left[(X-\mathbb{E}[X])^2\right]

修改提示与常见错误

可以修改: 将所有 X 一致替换为所需的随机变量。
注意事项: 这是随机变量方差的定义，不是分母为 n−1 的样本方差公式。

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概率

二项分布概率

表示 n 次独立伯努利试验中恰好成功 k 次的概率。

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}

修改提示与常见错误

可以修改: 设置 n、k、p；n 为非负整数，0 ≤ k ≤ n，且 0 ≤ p ≤ 1。
注意事项: 第二个幂次应是 n−k；误写成 k 会改变公式含义。

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符号与集合

欧拉恒等式

用简短公式练习上标和希腊字母 π，完整指数需放在花括号内。

e^{i\pi}+1=0

修改提示与常见错误

可以修改: 可以参考上标和希腊字母的写法，编写相关表达式。
注意事项: 修改常数后，即使能渲染，原来的恒等关系也可能不再成立。

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符号与集合

集合的交集

用转义花括号显示集合边界，结合属于符号，并用文本命令插入文字。

A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \in B\}

修改提示与常见错误

可以修改: 一致地修改集合名称及其成员条件。
注意事项: 显示集合边界需要转义花括号，单纯的分组花括号不会显示。

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符号与集合

常用希腊字母

集中查看数学与科学表达中常见的参数符号。

\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \theta,\ \lambda,\ \mu,\ \sigma,\ \Omega

修改提示与常见错误

可以修改: 复制需要的字母命令；大写字母与小写字母的命令可能不同。
注意事项: 命令区分大小写，大写 Omega 与小写 omega 表示不同符号。

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符号与集合

逻辑与量词

组合“任意”“存在”、属于符号和逻辑合取。

\forall x \in \mathbb{R},\quad x^2 \ge 0 \quad \land \quad \exists y \in \mathbb{R}: y^2=2

修改提示与常见错误

可以修改: 替换各个命题，保持变量与引入它的量词一致。
注意事项: 调整量词位置可能改变命题含义，编辑后需重新核对逻辑。

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$常用数学字体$

符号与集合

常用数学字体

对比黑板粗体、花体、粗体拉丁字母和粗体希腊字母。

\mathbb{R}\quad \mathcal{F}\quad \mathbf{v}\quad \boldsymbol{\alpha}

修改提示与常见错误

可以修改: 替换各个命令中的字母，用于数集、函数或向量。
注意事项: 希腊字母应使用粗体符号命令；粗体拉丁字母命令不适用于所有数学符号。

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